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https://www.jasso.go.jp/ryugaku/eju/examinee/pastpaper_sample/pastpaper_2019_1.html
\(\mathrm{[\,I\,]}\)
問１
(1) 이차함수가 \( ax^2+bx+c \) 꼴로 정의되어 있습니다.
당연히 최고차항의 계수\(a\)는 그래프가 위로 볼록하냐 아래로 볼록하냐를 결정하기에 \(a<0\)가 됩니다.
\(b\) 자체만으로 그 부호를 판별하는건 조금 힘들고, 이차함수의 축이 \(-\frac{b}{2a}\) 로 주어진다는걸 이용합니다. \(-\frac{b}{2a}>0\) 이고 \(a\)가 음수였으니, \(b<0\)가 되어야 합니다.
\(c\)는 그래프가 \(y\)축과 만나는점의 \(y\)좌표로 결정하면 되므로 \(c>0\)입니다.
\(a+b+c\)는 \(x=1\)일 때의 \(y\)값이며 그래프를 보면 \(0\)임을 알수 있습니다.
\(a-b+c\)는 \(x=-1\)일 때의 \(y\)값이며 마찬가지로 그래프를 보면 음수가 됨을 알수있습니다.
\(4a+2b+c\)는 \(x=2\)일 때의 \(y\)값이 되며 음의값이 됩니다.
\(b^2-4ac\)는 판별식이므로 그래프가 두 실근을 가지고 있으니 \(b^2-4ac>0\)입니다.
(2) \(a,b,c\)가 \((i),(ii)\) 조건을 만족할때 \(a^2-8b-8c\)의 최솟값을 구합니다. 어떠한 식의 최솟값을 구하기 위해서는 우선 식을 한 문자로 통일하는게 편합니다. \((ii)\,a+b+c=0\) 조건을 이용하면 \(b+c=-a\)가 되고 주어진 식에 대입합니다.
$$
\begin{align}
&a^2-8b-8c \\
&=a^2-8(b+c) \\
&=a^2+8a
\end{align}
$$
\(a^2+8a\)는 축이 \(-4\)인 이차함수 이므로 \(a=-4\)일때 최솟값을 가지게 됩니다.
\(a=-4\)이고 위의 \(b+c=-a\)을 이용하면 \({c=4-b}\)로 표현됩니다. 이 두식을 이용하여 이차함수 식을 다시 쓰면
$$
\begin{align}
&ac^2+bx+c \\
&=4x^2+bx+(-b+4)
\end{align}
$$
로 나타내어집니다.
마지막으로 \(b\)의 범위를 구하라 합니다. 많은 학생들이 위 이차함수 식을 이용하여 b의 범위를 찾으려고들 하는데 이차함수를 이용하여 변수의 범위를 찾는것은 어떠한 이차함수에 조건이 붙어있을때 뿐입니다.(ex. 두근이 3이상, 두근이 존재 등등)
위의 이차함수에는 어떠한 조건도 붙어있지 않으므로 b의 범위는 조건\((i)\,a<0,\,b>0,\,c>0\)만을 이용하여 구해줍니다. 우선 \(b>0\)이어야 하며, \(c=4-b>0\)이므로, \(b<4\) 입니다. 즉 \(0<b<4\) 가 됩니다.
問２
(1) \(6\)이 나올 확률은 \(1\sim5\)의 두배이므로 \(2p\)로 표현 가능합니다. 모든 사건의 확률 총합은 당연히 \(1\)이 되어야 하며 \(7p=1\)이므로 \(p=1/7\)입니다.
(2) 주사위를 두번 연속으로 던집니다. 두번다 \(1\sim5\)의 눈이 나오는 경우는 1회 2회 모두 \(5p\)의 확률이므로 \(5p\times 5p=\frac{5}{7}\times \frac{5}{7}=\frac{25}{49}\)입니다. 적어도 한번은 6의 눈이 나오는 사건은 위의 사건의 여사건이 됩니다. 즉 \(P(B)=1-P(A)=1-\frac{25}{49}=\frac{24}{49}\)가 됩니다.
(3) 이번에는 시행횟수를 3회로 늘립니다. 이 경우에도 풀이방법은 동일합니다. 3회 모두 \(1\sim5\)의 눈이 나올 확률은 \(P(C)=5p\times 5p\times 5p=\frac{5}{7}\times \frac{5}{7}\times \frac{5}{7}=\frac{125}{343}\)
사건 \(D\)또한 사건\(C\)의 여사건이므로 \(P(D)=1-P(C)=1-\frac{125}{343}=\frac{218}{343}\)
\(\frac{125}{343}\)의 두배는 \(\frac{250}{343}\)이므로 \(P(D)\)는 \(P(C)\)의 2배 미만입니다.
\(\mathrm{[\,II\,]}\)
問１
(1)
\( \begin{align} \frac{a}{b}&=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}\\
&=\frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}=\frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2}{2}\\&=\frac{8+2\sqrt{15}}{2}=4+\sqrt{15}
\end{align}\)
\( \sqrt{9}<\sqrt{15}<\sqrt{16} , \, 3<\sqrt{15}<4 \)이므로 \(\sqrt{15}\)는 \(3.\mathrm{xxxxx}\)의 무리수입니다. 즉 \( 4+\sqrt{15} = 4+ 3.\mathrm{xxxxx}\)이므로
\(7.\mathrm{xxxxx}\)의 무리수가 되며 이거보다 작은 최대정수는 \(7\)입니다.
(2) 위 문제에서 왜 \( \frac{a}{b} \)보다 작은 최대정수를 구했냐면 \( \left\vert x-\frac{a}{b} \right\vert \) 의 결과값이 \( x-\frac{a}{b} \)의 부호에 의해 달라지기 때문입니다. \( x-\frac{a}{b} \) 의 정수부분이 7이므로 \(x\leq 7 \)이라면 \( x-\frac{a}{b} < 0 \) 이 되고 \(x \geq 8 \) 이라면 \( x-\frac{a}{b} > 0 \) 가 됩니다.
$$
x\leq7 \;이라면, \; 2|x-\frac{a}{b}|+x=-2(x-\frac{a}{b})+x \\
=-2(x-(4+\sqrt{15}))+x=-x+8+2\sqrt{15}\\ \ \\
x\geq8 \;이라면, \; 2|x-\frac{a}{b}|+x=2(x-\frac{a}{b})+x \\
=2(x-(4+\sqrt{15}))+x=3x-8-2\sqrt{15}
$$
(3) \( 2|x-\frac{a}{b}|+x<10 \) 을 만족하는 x의 범위는 위에서 구한 두가지 범위로 나누어 생각해줍니다.
\( x \leq 7\) 일때 \( 2|x-\frac{a}{b}|+x=-x+8+2\sqrt{15}<10 \)
\( x>2\sqrt{15}-2=\sqrt{60}-2 = 7.\mathrm{xxxxxx}-2=5.\mathrm{xxxxxx} \)
\(x\)는 정수이니까 \(6 \leq x \leq 7\) 의 범위를 가지게 됩니다.
\( x \geq 8\) 일때 \( 2|x-\frac{a}{b}|+x=3x-8-2\sqrt{15}<10 \)
\( 3x<2\sqrt{15}+18, \, x<\frac{2}{3}\sqrt{15}+6=\sqrt{\frac{4}{9} \times 15}+6 \\=\sqrt{\frac{60}{9}} +6 = \sqrt{ \mathrm{6.xxxxxx}} +6 = \mathrm{2.xxxxxx}+6=\mathrm{8.xxxxxx} \)
\(x\)는 정수이니까 \(8 \leq x \leq 8\) 의 범위, 즉 \(8\)인 경우에만 성립합니다.
위의 두 조건을 합쳐주면 \(6 \leq x \leq 8\) 이 됩니다.
問２
(1) 방정식 \( f(x)=g(x) \) 가 다른 두 근을 가지도록 하는 a의 범위를 구합니다.
$$
f(x)-g(x)=x^2+2ax+a^2-a-(4-x^2)=2x^2+2ax+a^2-a-4=0 \\
위 \ 식의 \ 판별식이 \ 0보다 \ 커야하므로 \\
D/4=a^2-2(a^2-a-4)=-a^2+2a+8>0
$$
\(-a^2+2a+8\)은 해가 \(-2, \ 4 \)이며 아래와 같은 그래프를 가집니다. 따라서 \(0\) 보다 큰 쪽은 빨간색 범위이므로 \( -2<a<4 \)를 만족해야 합니다.
(2) 위의 조건일때 포물선 \(f(x)\)와 포물선 \(g(x)\)는 두 점에서 만나게 됩니다. 그때 두 교점의 \(y\)좌표가 모두 양의 부호를 가지도록 \(a\)의 범위를 설정해줍니다. 우선 \(f(x)\)와 \(g(x)\)를 실제로 그려 개형을 파악해줍니다. \(f(x)\)는 \(a\)를 포함하고 있기에 정확한 개형을 파악해주기 힘들지만 \(g(x)\)는 식이 \(4-x^2\)으로 주어져있으므로 \(-2,2\)를 두 근으로 가지고 위로 볼록한 그래프가 된다는걸 알 수 있습니다.
위 그림을 보면 왼쪽의 경우처럼 \(f(x)=g(x)\)의 두 교점이 \(-2\) 와 \(2\) 사이에 들어올때만 교점의 \(y\)좌표가 양의부호가 되는것을 알 수 있습니다. 따라서 \(f(x)-g(x)\), 즉 \(h(x)\)의 두 해가 \(-2\) 와 \(2\) 사이에 존재해야 합니다. 따라서 아래 그림과 같이 \(h(-2)\) 와 \(h(2)\) 가 \(0\) 보다 커야합니다.
\(h(-2)=a^2-5a+4=(a-4)(a-1)>0\), 즉 \(a<1 \ 또는\ a>4\)
\(h(2)=a^2+3a+4=(a+\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{7}{4}>0\), 즉 항상 성립.
또한 두 해가 \(-2<x<2\) 범위안에 있으려면 \(h(x)\) 의 축 또한 이 범위 안에 존재해야 하므로,
\(-2<-\dfrac{a}{2}<2, \ 즉 \ -4<a<4 \) 가 성립해야함.
지금까지 구한 조건 $$(1),(2),(3),(4)$$ 를 모두 성립하는 a의 범위를 구해줍니다.
$$ \begin{cases}
-2<a<4 \\
a<1 \ 또는\ a>4 \\
-4<a<4
\end{cases}
$$(3번 부등식은 항상 성립하므로 제외)
따라서 $$ -2<a<1 $$
\(\mathrm{[\,III\,]}\)
\(r=\dfrac{m}{3}+\dfrac{n}{7}\) 이므로
\(\dfrac{m}{3}+\dfrac{n}{7}<\sqrt{2}\) 이고 양변에 \(21\) 을 곱하여 정리하면,
\( 7m+3n<21 \sqrt{2} \quad \cdots \; \mathrm{(1)} \)
양변을 제곱해주면
\( (7m+3n)^2<882 \)
\(m\) 과 \(n\) 은 정수이기에, 882보다 작은 제곱수 중 최댓값을 찾아줍니다.
\(29^2\) 는 \(841\) 이고, \(30^2\) 는 \(900\) 이기에 \(29^2\) 이 최대 제곱수 입니다.
따라서 \(7m+3n=29\) 라는 방정식을 만족해야하며, \(n\) 에 대해 정리해주면
\(n=\dfrac{29-7m}{3}\)
\(n\) 이 정수이기 위해서는 \(29-7m\) 이 \(3\) 의 배수여야 합니다. \(m\) 에 \(1\) 부터 대입해보며 \(29-7m\) 이
\(3\) 의 배수가 될때를 찾아주면, \(m=2\) 일때 이며, 그때의 \(n\) 의 값은
\(n=\dfrac{29-7m}{3}= \dfrac{29-7 \times 2}{3}=\dfrac{15}{3}=5 \)
\(\mathrm{[\,IV \,]}\)